變異數分析

一、變異數分析的基本概念

(一)、定義

變異數分析(ANOVA)是利用樣本資料，檢驗不同群體的「平均數」是否具有差異的方法，常用於比較「三組以上」的平均數。

(二)、翻譯

比較三組以上的平均數。

(三)、例如

研究者想知道，參與不同課後輔導方式的甲、乙、丙三班學生，平均考試成績是否不同?

(四)、為什麼不直接反覆使用t檢定

因為t檢定只能一次比較兩組，因此需要甲乙、乙丙、甲丙兩兩比較，你會忙死且更容易出錯，所以直接使用ANOVA就好。

二、組間變異和組內變異

(一)、組間變異

1.定義：組間變異是指各組平均數相對於總平均數的差異。

2.翻譯：班級平均相對於全校平均的差異，也就是了解班級與班級之間差多少。

(二)、組內變異

1.定義：組內變異是指同一組內，每位學生的分數與該組平均數之間的差異。

2.翻譯：班級內學生的分數和

3.班平均之間的差異，也就是了解班級內學生之間差多少。

(三)、簡單總結

1.組間差異(因子差異)：不同組之間的差別，反映「實驗操控」的效果。也就是自變數(實驗因子)對結果的影響。

2.組內差異(隨機差異)：每組「內部個體之間」的差異。也就是其他的變異或誤差。

三、總平方和分解

(一)、總平方和

總平方和＝組間平方和＋組內平方和。

(二)、平方和(SS)

是將各種差距平方後加總，用來衡量資料的變異程度。這裡分解的是平方和，不是直接把變異數相加。

(三)、公式

1.總平方和SST

(1).定義：所有學生的分數，與全體學生總平均數之間的差距，平方後加總。
(2).翻譯：看看全體學生的成績總共分散到什麼程度。

2.組間平方和SSB(有些教材會寫作「因子差異SSF」)

(1).定義：各組平均數與總平均數之間的差距，平方後依各組人數加權加總。
(2).翻譯：不同課輔方式的組別，平均成績彼此相差多少?
(3).例如：未參加課輔組平均60分、小組課輔組70分、個別課輔組80分。各組平均數相距越遠，在其他條件相同時，組間平方和通常越大。
(4).翻譯：「組間平方和」反映與分組有關的差異，也就是課輔方式的影響。

3.組內平方和SSW(有些教材會寫作「隨機差異SSE」)

(1).定義：每位學生的分數與自己班級平均數之間的差距，平方後加總。
(2).翻譯：即使接受相同的課輔方式，同班學生的成績仍然相差多少?
(3).例如：同樣接受小組課輔，有人考100分，有人考60分，這些個別分數與該組平均數之間的差距，就是組內平方和的計算來源。
(4).翻譯：「組內平方和」反映學生個體之間的差異，也就是和「課輔方式」這個因素沒關係。

四、F值與F分配

(一)、定義

1.F值：是ANOVA的檢定統計量。F值＝組間均方/組內均方。

2.F分配：在虛無假設及模型假設成立時，用來判斷F值是否足夠極端的參考標準。

(二)、目的

比較「組間均方(MSB)」和「組內均方(MSW)」的大小，來判斷「實驗因子」是否對結果有顯著影響。

(三)、翻譯

F分配是一種統計工具，幫助我們看「實驗處理的效果」和「隨機變異」相比，誰比較大。如果 F 值很大，代表實驗因子可能真的有影響。

(四)、公式

1.MSB：組間均方。

2.MSW：組內均方，也稱誤差均方。

3.自由度：假設有K組，總樣本數為N。

(1).分子的組間自由度：k-1。
(2).分母的組內自由度：N- k。

(五)、翻譯

各班平均數之間的差距，相對於各班內部的差異有多大?

(六)、例如

假設在比較三種課輔班的影響，如果 F 值很高，代表「教學法之間的差異」遠大於「同組內學生的個人差異」。

五、變異數分析表

來源	平方和(SS)	自由度(df)	平均平方和(MS)	F值
組間差異	SSB(組間變異)	k-1 (組數-1)	MSB=SSB/(k -1)	MSB/MSW
組內差異	SSW(組內變異)	N-k (樣本數-組數)	MSW=SSW/(N-k)
總變異	SST(總和)	N-1 (樣本數-1)

六、單因子變異數分析

(一)、定義

單因子變異數分析是以「一個分類因子」，檢驗不同組別的母體平均數是否具有差異。

(二)、翻譯

只比較某個因素在不同組別的效果。

(三)、特性

1.一個自變項對一個依變項。

2.只考慮一個因子，並分析該因子對不同組別的結果所造成的影響。

3.目的：看這個因子在不同組別之間，平均數是否有顯著差異。

(四)、例如

依照「課輔方式」，將學生分成三組，未參加課輔、小組課輔、個別課輔，去計算這三組的學業分數差異。

1.因子：課輔方式。

2.分組：未參加課輔、小組課輔、個別課輔。

3.目標：檢測三組的平均成績是否有差異。

(五)、適用狀況

1.只有一個變動的因子要檢驗。

2.分組至少要兩組。

(六)、研究假設

1.H₀：三組學生的母體平均成績全部相等。

2.H₁：三組學生的母體平均成績不全相等，至少有一對不同。

七、雙因子變異數分析

(一)、定義

雙因子變異數分析是同時考慮「兩個分類因子」，分析它們與同一個數值依變項之間的關係。

(二)、翻譯

一次比較兩個因素在不同組別的效果。

(三)、特性

1.兩個自變項對一個依變項。

2.同時考慮兩個因子。

(1).分析這兩個因子分別對結果的影響。
(2).這兩個因子之間的交互作用。

3.交互作用：某一因子與依變項之間的關係，是否會隨另一因子的水準不同而改變。

(四)、例如

依照課輔方式(未參加課輔、小組課輔、個別課輔)、學習動機(高、低)區分成六組，去計算這六組的學業分數差異。

1.因子A：課輔方式。

2.因子B：學習動機。

3.目標

(1).檢測不同課輔方式的平均成績是否有差異。
(2).檢測不同學習動機的平均成績是否有差異。
(3).檢測課輔方式和學習動機是否有交互作用。

(五)、適用狀況

1.同時有兩個因子需要檢測。

2.可以檢測兩個因子的獨立影響以及它們之間的交互作用。

(六)、計算原理

1.組間變異：可以拆解成三部分，分別為

(1).變數A造成的差異。
(2).變數B造成的差異。
(3).變數A和B互相影響時產生的差異。

2.組內變異：是由樣本之間的個體差異和實驗中可能出現的誤差所造成的變異。

八、單因子和雙因子變異數分析比較表

特徵	單因子ANOVA單因子ANOVA	雙因子ANOVA
因子數量	1	2
分析重點	一個因子對結果的影響	1.兩個因子對結果的影響 2.兩因子之間的交互作用
例子	不同教學方法對成績的影響	不同教學方法和學習動機對成績的影響
結果解釋	單因子在各組平均數之間的比較	不同因子的平均數比較及其交互效果